Вступ
Назвою «Методи Монте-Карло» в математиці прийнято позначати доволі велику групу обчислювальних методів, які засновані на імітації стохастичних процесів за допомогою генерації великої кількості випадкових чисел в якості вхідних даних.
Термін був запропонований в 1940-х роках американськими фізиками Джоном фон Нейманом та Станіславом Уламом, коли вони працювали над Манхеттенським проектом. Стохастичні процеси, що відбуваються під час ядерних реакцій, нагадали вченим випадковість азартних ігор та відоме казино у Монако.
Далі не вдаватимемось в деталі математичної реалізації якогось конкретного методу з групи методів Монте-Карло, а матимемо на увазі загальні риси побудови моделей систем на основі випадкових вибірок вхідних даних.

Сутність методу Монте-Карло
Метод Монте-Карло – це статистичний обчислювальний метод, в якому використовуються великі вибірки випадкових даних. На основі цих даних створюється ймовірнісна модель системи, яка в подальшому підлягає аналізу.
Для того, щоб забезпечити валідну статистичну оцінку моделі, процес генерації та застосування випадкових чисел у якості вхідних даних повторюється багато разів і отримані результати усереднюються.
В якості прикладу можна навести розрахунок числа π за допомогою методу Монте-Карло. Геометрія нам надає відношення площини кола, вписаного в квадрат, до площини цього квадрату, як π/4. Таким чином, якщо ми випадково розмістимо велику кількість точок у вказаній фігурі та підрахуємо кількість точок в колі та в квадраті, то зможемо розрахувати π з достатньо високою точністю. Для зменшення погрішності цей дослід необхідно повторити багато разів і результат усереднити.

Сфери застосування
Метод Монте-Карло найбільш корисний для моделювання систем з великою кількістю ступенів свободи та систем з невизначеними вхідними параметрами. Наведемо лише декілька прикладів, щоб проілюструвати різноманітність галузей, де застосовують стохастичні методи обчислення:
Фізика та фізична хімія – моделювання молекулярної динаміки, квантова динаміка, радіаційне матеріалознавство, розробка детекторів елементарних частинок та багато інших напрямків;
Прогнозування погоди – складання погодних моделей на основі величезної кількості змінних параметрів;
Інженерія – розрахунки полів вітроелектростанцій, розрахунки трубопровідної динаміки рідин або газів, робота промислових роботів під впливом змінного середовища, розрахунки надійності техніки, проектування бездротових мереж та зон покриття стільникового зв’язку, розрахунки витривалості корпусів суден в складних погодних умовах;
Фінанси – оцінка ефективності корпоративних інвестиційних проектів, прогнозування біржової динаміки, розрахунок прибутковості супермаркетів;
Дизайн та візуалізація – розрахунок полів освітлення, створення реалістичних 3D-моделей;
Архітектура та будівництво – розрахунки сейсмостійкості будівель, визначення вітростійкості висотних будівель;
Розробка відеоігор – створення реалістичних ігрових світів та персонажів…

Переваги методу Монте-Карло над іншими методами статистичного аналізу та моделювання
Стохастичний аналіз вочевидь є більш гнучким та універсальним, ніж методи, що засновані на розробці припущень щодо розподілу та розрахунку вхідних даних. Кількість ітерацій в методі Монте-Карло не обмежена і це дозволяє отримувати більш точні результати зі збільшенням числа повторів дослідження.
Крім того, метод Монте-Карло допомагає досліджувати проблеми, які занадто складно вирішувати іншими методами. В першу чергу це стосується моделювання поведінки великих багатопараметрових систем або оцінки ймовірності рідкісних подій.
Нарешті, цей метод корисно використовувати в умовах непередбачуваності результатів моделювання систем або в умовах невизначеності. Сама суть методу вказує на те, що результат моделювання не може бути визначеним заздалегідь, так як модель працює на випадкових вибірках даних.
Розглянемо найбільш очевидні переваги методу Монте-Карло більш детально та наведемо приклади його застосування в різних галузях діяльності людини.
Точність результатів
На відміну від інших аналітичних методів, метод Монте-Карло надає набагато більш точні результати в системах з непередбачуваними або погано передбачуваними вхідними параметрами, так як враховує всі (або майже всі) змінні та їхні потенційні значення. Це має особливе значення в фінансових розрахунках та прогнозах, де навіть невеликі помилки можуть привести до величезних втрат.
Наприклад: швидкоплинна зміна та величезна кількість параметрів ринкових умов ускладнює розрахунок їхнього впливу на інвестиційний портфель. Метод Монте-Карло дозволяє зробити найбільш точний прогноз за рахунок моделювання по всім можливим в поточних умовах вхідним даним.
Гнучкість
Метод Монте-Карло оперує випадковими вибірками даних, що дозволяє дуже легко вносити зміни в імітаційну модель. Це робить цей метод ідеальним для аналізу поведінки моделей в складних середовищах, що характерно для багатьох галузей – машино-, авіа- та суднобудування, логістика, охорона здоров’я та ін.
Наприклад: У галузі охорони здоров’я метод Монте-Карло застосовують під час аналізу моделей поширення інфекційних захворювань та розрахунків стратегій зупинки епідемій. Змінюючи параметри швидкості розповсюдження інфекції та ефективності різних методів лікування, лікарі можуть підбирати найбільш діючі плани реагування.
Економічність
Метод Монте-Карло допомагає скоротити витрати на дослідження завдяки збільшенню точності прогнозування поведінки моделей без проведення широкомасштабних експериментів. Це особливо важливо для зменшення вартості розробки агрегатів, що працюють в надскладних швидкозмінних або важкодоступних умовах. В деяких випадках стохастичний аналіз дозволяє зменшити витрати на порядки.
Наприклад: в авіабудівництві метод Монте-Карло допомагає спрогнозувати поведінку конструкцій літаків без необхідності проведення дороговартісних експериментів в аеродинамічній трубі. Моделювання поведінки крил та корпусу літака при всіх можливих умовах польоту не тільки зменшує вартість проектування, но і дозволяє суттєво зменшити ризик відмови. Так саме відбувається проектування космічних апаратів – всі початкові розрахунки робляться без фізичного дослідження поведінки об’єкту в вакуумі.
Аналіз ризиків
За допомогою моделювання поведінки системи під впливом всіх можливих варіантів вхідних даних, можна якісно ідентифікувати та оцінити потенційні ризики та їх вплив на роботу системи. Найбільш корисно використовувати подібний аналіз в фінансах та страхуванні, де ефективне управління ризиками є запорукою успіху.
Наприклад: Під час розробки страхових програм метод Монте-Карло допомагає оцінити ризик виникнення різноманітних стихійних лих, таких як повені, урагани, землетруси. Це дозволяє прорахувати потенційні збитки, що виникнуть внаслідок необхідності здійснити чисельні страхові виплати, та розробити більш ефективні плани страхування та забезпечити довгострокову прибутковість компанії.
Поліпшення якості прийняття рішень
Моделювання та аналіз систем за допомогою метода Монте-Карло допомагає приймати більш обґрунтовані та ефективні рішення на будь-якому рівні відповідальності. Точність прогнозування поведінки моделі та ефективне управління ризиками дозволяє здійснити порівняння багатьох варіантів дій та обрати найкращій з них.
Наприклад: В енергетиці метод Монте-Карло можна застосовувати при аналізі потенційного впливу різноманітних політичних рішень різних політичних сил на стабільність постачання енергоносіїв та на ціноутворення в галузі. Прорахувавши всі можливі варіанти, політики зможуть розробити стратегію протидії деструктивним діям окремих держав та підвисити стабільність енергетичного ринку.

Обмеження методу
Отже, метод Монте-Карло є потужним інструментом, що дозволяє здійснювати аналіз складних систем в багатьох галузях діяльності людини. Але, як і будь-який інший метод, існують і деякі обмеження на його застосування. До них можна віднести наступне:
- Припущення та спрощення. Будь яка випадкова вибірка є по суті припущенням та спрощенням щодо системи, яка моделюється. Не завжди дані, що ми відправляємо в модель, відповідають реальному світу. Це може привести до зниження точності прогнозу та до неточності результатів.
- Часомісткість. Для складних моделей з великою кількістю змінних обчислення, тим паче багаторазове, може зайняти занадто багато часу. В деяких випадках стабільний і точний результат взагалі неможливо отримати за розумний термін. Так, наприклад, можна розрахувати прогноз погоди зі стовідсотковою точністю, але за час проведення розрахунків прогноз вже втрачає свою актуальність.
- Труднощі підтвердження результатів. В моделях з великою кількістю змінних важко перевіряти результати моделювання, так як кожна наступна генерація випадкових вибірок відрізняється від попередньої. При цьому можливо, що невеликі зміни в моделі або у вхідних параметрах можуть привести до значних змін в результатах роботи системи, що ускладнює визначення чутливості моделі.
- Якість вхідних даних. Випадковість вибірок вхідних даних може негативно вплинути на їх якість. В свою чергу це може привести до суттєвого зниження точності результатів. Для якісного моделювання необхідно якімось чином слідкувати за повнотою та точністю вхідних даних.
- Масштабованість. Метод Монте-Карло може не надавати необхідну точність результатів при збільшенні кількості змінних. Крім того, при масштабуванні значно зростає тривалість часу обчислення та ростуть проблеми, пов’язані зі зберіганням та керуванням даними.
- Ризик надмірної довіри до методу. Метод Монте-Карло базується на припущеннях і спрощеннях і тому може недостатньо точно відображати реальний світ. Тому при прийнятті рішень не слід покладатися виключно на його результати.
- Якість генератору випадкових чисел. В багатьох генераторах випадкових чисел створюється псевдовипадкова послідовність, що може негативно впливати на результати досліджень з великою кількістю ітерацій. Тому важливо обирати найбільш якісні алгоритми генерації вхідних даних.

Підсумок
Незважаючи на вказані вище обмеження, метод Монте-Карло є потужним інструментом, який широко використовується при моделюванні складних систем з великою кількістю змінних. Він дозволяє робити прогнози з високою точністю та робити якісний аналіз в багатьох галузях діяльності людини – від фізики елементарних частинок до прикладного дизайну, від проектування авіаційних двигунів до прогнозування погоди.
Використання цього методу дозволило здійснювати якісні дослідження стохастичних процесів в науці, промисловості і суспільстві. Але при застосуванні методу Монте-Карло слід завжди перевіряти, наскільки отримані результати корелюють з очікуваною поведінкою системи, яку ми моделюємо.